GEOMETRİK CİSİMLER

PRİZMA

Alt ve üst tabanları birbirine eş ve paralel çokgensel bölgelerden oluşan, yan yüzleri ise dörtgensel bölge olan geometrik cisimlere prizma adı verilir.

• Prizmalar tabanlarına göre isimlendirilir. [SPOT 1 ]  .Örneğin tabanları birbirine paralel eş üçgensel bölge olan prizmaya üçgen prizma adı verilir.

• Prizmanın temel elemanları; tabanları, yan yüzleri, ayrıtları, köşeleri ve yüksekliğidir.

• Prizmanın yüksekliği tabanları arasındaki dik uzaklıktır. Tabanlardan birinin herhangi bir noktasından diğer tabanına indirilen dikmedir.

• Tabanlarının kaşılıklı köşelerini birleştiren ayrıtları (yan yüzdeki ayrıtları) tabana dik olan prizmalara dik prizma, dik olmayan prizmalara eğik prizma denir.

• Dik prizmaların yan yüzleri dikdörtgensel bölgelerden, eğik prizmaların yan yüzleri paralelkenarsal bölgelerden oluşur.

• Prizmaların taban merkezlerinden geçen doğruya eksen adı verilir.

• Bir prizma ekseni etrafında 360°’den daha küçük bir açıyla döndürüldüğünde kendisiyle en az bir kere çakışıyorsa dönme simetrisine sahiptir. Dönme simetrisine sahip bir şeklin ilk defa kendisiyle çakıştığı açıya en küçük dönme simetri açısı denir.

• Tabanı düzgün çokgen olan dik prizmaların en küçük dönme simetri açıları, tabanlarının dış açılarına eşittir. [SPOT 2 ]

• Tabanı düzgün çokgen olan dik prizmaların en küçük dönme simetri açıları, 360’ı taban kenar sayısına bölerek bulunabilir. [SPOT 3 ]

Örneğin: Eşkenar üçgen dik prizmanın en küçük dönme simetri açısı :

Dik Dairesel Silindir

Dik dairesel silindirde birbirine eş ve paralel iki daireden oluşan tabanlar ve yan yüz vardır.

Taban yarıçapına silindirin yarıçapı denir.

Dik dairesel silindirde, tabanları oluşturan dairelerin merkezlerini birleştiren doğru parçasına “eksen” denir.

Dik dairesel silindirde tabanların karşılıklı iki noktasını birleştiren tabanlara dik ve eksene paralel olan doğrulara “ana doğrular” denir.

Eksen de bir ana doğrudur. [SPOT 4 ]

Tabanlardan birinin bir noktasından diğer tabana inilen dikmeye “silindirin yüksekliği” denir.

Yükseklik de bir ana doğrudur. [SPOT 5 ]

Aşağıda verilen dik dairesel silindirin yüzey açınımını çizerek silindiri oluşturan
geometrik şekilleri belirleyelim.

Bir silindirin açık şekli, açınımı olarak adlandırılır. Dik dairesel silindirin açınımını çizelim.

Dik dairesel silindir, tabanları oluşturan paralel ve birbirine eş iki daire ve bir dikdörtgensel bölgeden oluşmaktadır.
Dikdörtgensel bölgenin kenar uzunlukları, tabanı oluşturan dairenin çevre uzunluğu ve silindirin yüksekliğine eşittir. [SPOT 6 ]

Dik Dairesel Silindirin Yüzey Alanı

Dik dairesel silindirin alanı, alt ve üst tabanların alanları ve yan yüz alanı toplamına eşittir. [SPOT 7 ]
         Yüzey alanı: Alt ve üst taban alanları toplamı + yan yüz alanı
          Alan: 2 π r² + 2 π r . h

Aşağıda verilen dik dairesel silindirin yüzey alanını bulalım (π = 3).

Dik dairesel silindirin yüzey alanı: Taban alanları toplamı + Yan yüz alanı
Alan = 2 π r²+ 2 π r . h
= 2 • 3 • 102
+ 2 • 3 • 10 • 6
= 6 • 100 + 6 • 60 • 6 = 600 + 360
= 960 cm² olur.

Dik Dairesel Silindirin Hacmi

Yarıçapı r, yüksekliği h olan dik dairesel silindirin hacmi, silindirin taban alanı ile yüksekliğinin çarpımına eşittir. [SPOT 8 ]

O halde,
V = π r² . h’dir.

A ve B tencereleri dik dairesel silindir şeklinde eşit hacimli iki tenceredir. A tenceresinin taban yarıçapı 8 cm, yüksekliği 25 cm’dir. B tenceresinin yarıçapı 10 cm ise yüksekliği kaç cm’dir?

A tenceresinin yarıçapını yuvarlama yaparak 10 cm ve yüksekliğini 25 cm olarak alalım.
A tenceresinin hacmi Va = π • 10² • 25 • π

Va = 2500π

B tenceresinin yarıçapı 10’dur. Yüksekliğine h diyelim.

B tenceresinin hacmi Vb = 10² • hπ = 100πh

Her iki tencerenin hacmi eşit olduğu için 2500π = 100πh

Her iki tencerenin hacmi eşit olduğu için h = 25 cm’dir.

İşlem yaparak sonucu bulalım:
A tenceresinin hacmi: Va = π • r² • h = π • 8² • 25 = 1600π
B tenceresinin hacmi: VA = π • r² • h = π • 10² • h = 100πh
Her iki tencerenin hacimlerinin eşitliğinden;
Va = Vb
1600π = 100πh
h = 16 cm’dir

PİRAMİT

Bir çokgensel bölgeyi oluşturan bütün noktaların, bu noktaların bulunduğu düzlemin dışındaki bir nokta ile birleşmesinden oluşan cisme piramit adı verilir.

• Piramitler tabanlarına göre isimlendirilirler.   [SPOT 9 ]                                                                                  (Örneğin üçgen piramit, kare piramit, dörtgen piramit gibi.)

• Piramidin temel elemanları; tepe noktası, tabanı, yan yüzleri, ayrıtları ve yüksekliğidir.

• Piramidin yüksekliği, tepe noktası ile tabanı arasındaki dik uzaklıktır. Tepe noktasından tabanına indirilen dikmedir.

• Piramidin tabanı çokgensel bölge, yan yüzleri üçgensel bölgedir.

• Piramidin tepe noktasını tabanının merkezine (tabanın ağırlık merkezine) birleştiren doğru parçası tabana dik ise böyle piramide dik piramit, dik değil ise eğik piramit adı verilir.

Dik piramit, tabanına paralel bir düzlemle kesildiğinde elde edilen iki parçadan tepe noktasının bulduğu kısım yine dik piramit olur. Tabana paralel olmayan bir düzlemle (tabanı kesmeyen ve tepe noktasından geçmeyen) kesilirse eğik piramit olur.

• Tabanı düzgün çokgen olan dik piramitlerde, prizmalarda olduğu gibi dönme simetrisi vardır.

Örneğin ; Tabanı kare olan dik piramidin en küçük dönme simetri açısı:

KONİ

• Bir dairenin bütün noktalarının dışındaki bir nokta ile birleşmesinden oluşan cisme koni adı verilir.
• Koninin temel elemanları; dairesel bölge olan tabanı, taban düzlemi dışındaki bir nokta olan tepe noktası, tepe noktasıyla taban merkezinden geçen doğru olan ekseni, tepe noktasıyla taban çevresi üzerindeki bir noktadan geçen ana doğrusu (doğuran), ana doğrunun taban çevresi etrafında döndürülmesiyle oluşan yanal yüzeyidir.
• 

• Ekseni tabana dik olan konilere dik koni (veya dönel koni), dik olmayan konilere eğik koni adı verilir.

• Dik koni tabanına paralel bir düzlemle kesilirse tepe noktasının bulunduğu parça dik koni oluşturur. Tabanına paralel olmayan, tabanından ve tepe noktasından geçmeyen bir düzlemle kesilirse tepe noktasının bulunduğu parça eğik koni oluşturur.

• Dik koniler her açıda dönme simetrisine sahiptirler.

• Dik koninin yanal yüzü, bir dairenin belirli bir açı ile elde edilen dilimidir (sektör). Bu daire diliminin yarıçapı koninin anadoğrusunun tepe noktasıyla taban çevresi arasında kalan parçasına eşittir.

• Sektör yayının uzunluğu koninin taban çevresine eşittir. Buradan yola çıkarak şu formül bulunabilir.

TABAN ÇEVRESİ = DAİRE DİLİMİ ÇEVRESİ  [SPOT 10]

 KÜRE

Bir noktaya eşit uzaklıktaki noktalar kümesine küre denir.

 Kürenin temel elemanları; merkezi, yarıçapı ve yüzeyidir.

• Bir düzlemin küre ile olan arakesiti en büyük daire ise bu düzlem kürenin merkezinden geçer. Oluşan arakesit dairedir, bu dairenin merkezi kürenin de merkezidir ve bu dairenin yarıçapı kürenin de yarıçapıdır.

• Merkezinden geçen düzlemlerle kürenin ara kesitine büyük daire, küre yüzeyinin ara kesitine büyük çember adı verilir.  [SPOT 11 ]

• Özel bir küre, merkezi ve yarıçapı ile belirlenir. [SPOT 12 ]

• Küre açınımı yüzünden diğer cisimlerden ayrılır çünkü tam olarak açılamaz.